real graphでは、完全グラフみたいな密なグラフは少ない。その中で、辺の次数が高い頂点の集団=密な部分のCoreと、それ以外のほぼ木、一本線のようなFringeに分けられる。Coreの部分はExpander Graphである。
Expanding Graphは以下の性質を持つ。
- つながりが密で、カットするときに取り除くべき辺が多い。
- ランダムウォークの収束が素早い(これなに)
- グラフの遷移行列の固有値が小さい。
では、そんなExpander GraphすなわちCore部分を見つけるのはどうすればよいか？NP-hardです……。 固有値(何の行列の？隣接行列？)が複素平面でプロットしたとき、減点の周りにクラスタ化されている場合、expander graphになることはわかる。
expander graphは密に結合されてるので分割統治法+DPの相性が悪い。逆にFringeは分割統治法+DPで計算しやすい(バラバラなんで)が、ランダムウォークの収束が遅い。