$$ \forall a, \forall b \in \mathbb{N} \\ \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \geq k \frac{1}{\sqrt{a + b}} $$
このような最小の$k$を求める。
まずは以降して$k$だけくくりだす。
$$ \sqrt{\frac{a + b}{a}} + \sqrt{\frac{a + b}{b}} \geq k $$
両辺が共に正なので、2乗すると以下の式が得られる。
$$ 1 + \sqrt{b}{a} + 2 \frac{a + b}{\sqrt{ab}} + 1 + \frac{a}{b} = 2 + \frac{a}{b} + \sqrt{b}{a} + 2 \frac{a + b}{\sqrt{ab}} \geq k ^ 2 $$
相加相乗平均の不等式$a + b \geq 2 \sqrt{ab}$を用いると、以下の事実が成り立つ。
$$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \times \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2 \\ a + b \geq 2 \sqrt{ab} \Rightarrow \frac{a + b}{\sqrt{ab}} \geq 2 $$
これを元の式に代入すると、
$$ 2 + \frac{a}{b} + \sqrt{b}{a} + 2 \frac{a + b}{\sqrt{ab}} = 2 + 2 + 2 \cdot 2 = 8 \geq k ^ 2 \\ k \leq 2 \sqrt{2} $$
よって、等号成立条件は$k = 2\sqrt{2}$であり、以下が成り立つ。
$$ \forall a, \forall b \in \mathbb{N} \\ \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \geq 2 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{a + b}} $$