以下のことを証明する。
$$ \mathbb{E} _{p(\mathbf{x}, y)} [l _{01} (y f(\mathbf{x}))] = p(y = +1) \mathbb{E} _{p(\mathbf{x} | y = +1)} [ \tilde{l} (f(\mathbf{x})) ] + \mathbb{E} _{p(\mathbf{x})} [ \tilde{l} (f(\mathbf{x})) ] $$
損失関数は以下のように定義されているので、これをまず代入する。
$$ \tilde{l}(y f(\mathbf{x})) = \frac{2}{y + 3} l _{01} (y f(\mathbf{x})) \\ \tilde{l} _{\eta} (y f(\mathbf{x})) = \frac{2}{y + 3} l _{\eta} (y f(\mathbf{x})) \\ \mathbb{E} _{p(\mathbf{x}, y)} [l _{01} (y f(\mathbf{x}))] \\ = \frac{1}{2} p(y = +1) \mathbb{E} _{p(\mathbf{x} | y = +1)} [ l _{01} (f(\mathbf{x})) ] + \mathbb{E} _{p(\mathbf{x})} [ \tilde{l} (f(\mathbf{x})) ] \\ = \frac{1}{2} p(y = +1) \mathbb{E} _{p(\mathbf{x} | y = +1)} [ l _{01} (f(\mathbf{x})) ] + \frac{1}{2} p(y = +1) \mathbb{E} _{p(\mathbf{x} | y = +1)} [ l _{01} (f(\mathbf{x})) ] + p(y = -1) \mathbb{E} _{p(\mathbf{x} | y = -1)} [ l _{01} (-f(\mathbf{x})) ] $$
これを整理すると、以下の式となり示せた。
$$ p(y = +1) \mathbb{E} _{p(\mathbf{x} | y = +1)} [ l _{01} (f(\mathbf{x})) ] + p(y = -1) \mathbb{E} _{p(\mathbf{x} | y = -1)} [ l _{01} (-f(\mathbf{x})) ] \\ = \mathbb{E} _{p(\mathbf{x})} [ l _{01} (y f(\mathbf{x})) ] $$